矩阵与图像处理项目

项目简介

本项目旨在实现一系列基于矩阵运算和图像处理（卷积操作）的功能，同时包含扩展任务（例如 OTSU 算法和目标提取），OTSU 算法直接采用 OpenCV 库中 threshold，目标提取则是简单采取 contours 中面积最大的一块作为目标，其余涂黑。

项目采用模块化设计，将基础功能与扩展功能分别封装到独立的源文件和目录中，便于后续扩展。

此外，本项目同时提供了基于二维数组的矩阵运算（在 Matrix 目录下）和利用一维数组实现的矩阵运算（在 ExtendedMatrix 目录下）。图像处理部分分为基本卷积处理（ImageProcessing 模块）和扩展模块（ExtendedImageProcessing 模块）。

目录结构

├── Matrix.sln // Visual Studio 解决方案文件 
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├── brain.jpg // 测试图像
├── demolena.jpg
├── polyhedrosis.jpg
├── ship.jpg
├── snowball.jpg
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├── README.md
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├── Main.cpp // 主程序入口（二维矩阵和基本与扩展图像处理） 
├── ExtendedMain.cpp // 扩展主程序入口（矩阵运算基于一维数组实现） 
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├── ImageProcessing.h // 基本图像卷积处理模块接口 
├── ImageProcessing.cpp // 基本图像卷积处理实现
├── ExtendedImageProcessing.h // 扩展图像处理模块接口
├── ExtendedImageProcessing.cpp // 扩展图像处理实现
├── Matrix.h // 二维矩阵运算接口
├── Matrix.cpp // 二维矩阵运算实现
├── ExtendedMatrix.h // 一维数组实现的矩阵运算接口 
└── ExtendedMatrix.cpp // 一维数组实现的矩阵运算

编译与运行

环境要求

• 开发环境：Visual Studio（推荐使用 VS2022），或其他支持 C++ 和 OpenCV 的 IDE。
• 依赖库：OpenCV。
• 操作系统：Windows，使用 _getch() 实现无回车输入。

编译步骤

1. 将所有源代码和图像文件放置在同一工作目录下，按照上面的目录结构组织文件。
2. 在 Visual Studio 中打开 Matrix.sln 。
3. 配置 OpenCV 的包含目录和库目录。
4. 编译并运行项目（分别编译 Matrix 项目和 ExtendedMatrix 项目）。
5. 根据提示在主菜单选择相应功能进行测试。

运行说明

图片处理时，文件目录不应包含空格或中文字符！

• 主菜单中包含矩阵运算（加法、数乘、转置、乘法、Hadamard 乘积、卷积）、卷积应用（图像处理）、OTSU 算法和目标提取功能。
• 根据需要切换使用二维矩阵运算（通过 Main.cpp 入口）或一维矩阵运算（通过 ExtendedMain.cpp 入口）。

贡献指南

欢迎提交 Issue 和 Pull Request。

许可证

MIT License

题目描述：矩阵运算

相信你已经在线性代数或者高等代数中接触过矩阵的概念。矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，支持加法、减法、数乘、乘法等运算。矩阵还具有行列式、秩、特征值和特征向量等重要概念和性质，在数学中广泛应用于线性方程组求解、向量空间变换等方面，同时在物理学、计算机科学、工程学等众多领域也发挥着关键作用，是进行数据处理和分析、解决实际问题的重要数学工具。本次作业要求你实现一个矩阵操作的程序，支持矩阵的一系列运算，并简单探索矩阵在计算机图形学中的应用。详细内容如下：

一、基础项要求

在阅读下面的题目要求前，建议你先下载附件，对照其中的参考代码框架阅读。

附件下载链接： 矩阵运算大作业附件.zip

1. 主菜单

设计一个主菜单，让用户选择具体运算，界面大致如下。退出系统前用户可进行任意次操作。

注意： 用户选择菜单项后不需要输入回车直接跳转到相应选项中。

如果输入非法字符（除 $0\sim 7$ 的其他字符），提示输入错误，按回车后刷新界面回到菜单界面。

2. 运算说明

下面是你需要实现功能的具体说明。

（1）矩阵加法

矩阵加法结果为对应元素相加。

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix} $$

注意：两个列数、行数都相等的矩阵（同型矩阵），加法运算才有意义。

（2）矩阵数乘

将整数与矩阵中的每一个元素分别相乘所得的矩阵。

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} \times 4

\begin{bmatrix} 4 & 8 \ 12 & 16 \end{bmatrix} $$

（3）矩阵转置

将 $M\times N$ 的矩阵 $A$ 的行换成同序数的列得到 $N\times M$ 的矩阵 $A^T$：例如

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} $$

（4）矩阵乘法

设矩阵 $$ A = (a_{ij}){m \times s}, \quad B = (b{ij}){s \times n}, $$ 则 $A$ 与 $B$ 的乘积为 $$ C = (c{ij}){m \times n}, \quad \text{其中 } c{ij} = \sum_{k=1}^{s} a_{ik} b_{kj}, \quad (i=1,2,\ldots,m; ; j=1,2,\ldots,n). $$ 比如： $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & -4 \ -2 & 5 \ 1 & -6 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2 & -12 \ 8 & -27 \end{bmatrix} $$

注意：矩阵 $A$ 的列数和矩阵 $B$ 的行数相等时，矩阵乘法运算才有意义。

（5）Hadamard 乘积

合法性约束与矩阵加法相同，只是对应元素运算变为乘法：

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 4 \ 9 & 16 \end{bmatrix} $$

（6）矩阵卷积

卷积的计算方式如下

设矩阵 $A$ 是一个 $5\times5$ 的矩阵；矩阵 $B$ (kernel) 是一个 $3\times3$ 的矩阵。下面是具体步骤与要求：

1. 先把 $B$ 放到矩阵 $A$ 上，并且 $A$ 的 [0,0] 元素与 $B$ 的 [0,0] 元素对齐，则重叠出 $3\times3$ 的矩阵。

2. 再把重叠位置对应的元素相乘，得到 1 个 $3\times3$ 的矩阵（[0,0] 位置对齐的结果如下）。

3. 把上面结果的所有元素相加，得到卷积结果矩阵 [0,0] 位置的值。 $$ 0\times(-1) + 25\times0 + 75\times1 + 0\times(-1) + 75\times0 + 80\times1 + 0\times(-1) + 75\times0 + 80\times1 = 235 $$

4. 这里采用的步长 (stride) 是 $1$，填补 (padding) 为 $0$。则接下来把 $B$ 的 [0,0] 与 $A$ 的 [0,1] 对齐，再进行上面步骤的计算，得到结果矩阵 [0,1] 位置的值。当一行计算完成，则把 $B$ 的 [0,0] 与 $A$ 的 [1,0] 对齐，进行计算，以此类推。

5. 如果增加填充 (padding)，以 padding=1 为例，则在矩阵 $A$ 的外围填补一圈 $0$，使得矩阵 $A$ 变成 $7\times7$ 的矩阵。

6. 不考虑 dilation.

注意： 本次作业要求 kernel size = 3, padding = 1, stride = 1, dilation = 1；可参考示例网站：https://ezyang.github.io/convolution-visualizer/index.html.

（7）卷积应用

实现一个利用卷积操作应用与图像处理的简单示例：
假设矩阵 $A$ 为原灰度图 demolena.jpg（大小为 $256\times256$），灰度值为矩阵值（int），分别采用如下卷积核（矩阵 $B$）进行卷积运算，并将得到的矩阵除以卷积核的总和（如 $B_1$ 的卷积核总和为 $9$，总和为 $0$ 时不做处理），保存为灰度图观察结果： $$ \begin{align} B_1)&; \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ \end{bmatrix}, \quad B_2)&; \begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \ 0 & 0 & 0 \ 1 & 2 & 1 \ \end{bmatrix}, \quad B_3)&; \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \ -2 & 0 & 2 \ -1 & 0 & 1 \ \end{bmatrix} \ B_4)&; \begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 \ -1 & 9 & -1 \ -1 & -1 & -1 \ \end{bmatrix}, \quad B_5)&; \begin{bmatrix} -1 & -1 & 0 \ -1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ \end{bmatrix}, \quad B_6)&; \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \ 2 & 4 & 2 \ 1 & 2 & 1 \ \end{bmatrix} \end{align} $$

提示：这都是数字图像处理中非常经典的滤波器，所得到的图片效果也不尽相同，注意观察并分析原因。

对于这一部分内容，请认真阅读 “vs+opencv 配置说明”，操作完成后，取消框架程序开始的两段注释:

#include <opencv2/opencv.hpp>
using namespace cv;

然后完成 demo 函数功能，将原图和不同卷积操作后的图像显示在屏幕上，并观察结果。具体包括：

1. 读取原图并显示；
2. 计算原图矩阵与卷积核 $B_1$ 的卷积结果并图像显示；
3. 计算原图矩阵与卷积核 $B_2$ 的卷积结果并图像显示；
4. 计算原图矩阵与卷积核 $B_3$ 的卷积结果并图像显示；
5. 计算原图矩阵与卷积核 $B_4$ 的卷积结果并图像显示；
6. 计算原图矩阵与卷积核 $B_5$ 的卷积结果并图像显示；
7. 计算原图矩阵与卷积核 $B_6$ 的卷积结果并图像显示。

二、加分项要求

学有余力的同学可以选取下面一个或多个任务完成。加分项开放使用 opencv 库函数。

1. 一维数组

使用一维数组实现上述功能。

2. OTSU算法实现

在菜单中加入功能 “8 OTSU 算法”，并完成下述功能：使用 OTSU 算法对 lena 图像进行二值化，结果如下所示：

请自行学习该算法原理与实现方法。

3. 目标提取

你已经掌握了上述图像处理的简单方法—二值化，请在此基础上配合其它方法，对下述测试样例进行处理，保留目标区域并设置背景为黑色，结果如下所示，处理结果类似即可，没有标准答案：

① 实验室前任团宠“雪球” - snowball.jpg (200×150)

② 多角星形 - polyhedrosis.jpg (98×90)

③ 船舰 - ship.jpg (128×96)

④ 脑部影像截取 - brain.jpg (119×78)

提交要求

请按照文件打包要求上传你的项目代码。务必记得清除不必要的文件（包括一些隐藏文件）！