3-4-散列表.md

3.4 散列表

散列表类似于数组，可以把散列表的散列值看成数组的索引值。访问散列表和访问数组元素一样快速，它可以在常数时间内实现查找和插入操作。

由于无法通过散列值知道键的大小关系，因此散列表无法实现有序性操作。

3.4.1 散列函数

对于一个大小为 M 的散列表，散列函数能够把任意键转换为 [0, M-1] 内的正整数，该正整数即为 hash 值。

散列表存在冲突，也就是两个不同的键可能有相同的 hash 值。

散列函数应该满足以下三个条件：

• 一致性：相等的键应当有相等的 hash 值，两个键相等表示调用 equals() 返回的值相等。
• 高效性：计算应当简便，有必要的话可以把 hash 值缓存起来，在调用 hash 函数时直接返回。
• 均匀性：所有键的 hash 值应当均匀地分布到 [0, M-1] 之间，如果不能满足这个条件，有可能产生很多冲突，从而导致散列表的性能下降。

除留余数法可以将整数散列到 [0, M-1] 之间，例如一个正整数 k，计算 k%M 既可得到一个 [0, M-1] 之间的 hash 值。注意 M 必须是一个素数，否则无法利用键包含的所有信息。例如 M 为 10^k，那么只能利用键的后 k 位。

对于其它数，可以将其转换成整数的形式，然后利用除留余数法。例如对于浮点数，可以将其的二进制形式转换成整数。

对于多部分组合的类型，每个部分都需要计算 hash 值，这些 hash 值都具有同等重要的地位。为了达到这个目的，可以将该类型看成 R 进制的整数，每个部分都具有不同的权值。

例如，字符串的散列函数实现如下：

int hash = 0;
for (int i = 0; i < s.length(); i++)
    hash = (R * hash + s.charAt(i)) % M;

再比如，拥有多个成员的自定义类的哈希函数如下：

int hash = (((day * R + month) % M) * R + year) % M;

R 通常取 31。

Java 中的 hashCode() 实现了哈希函数，但是默认使用对象的内存地址值。在使用 hashCode() 时，应当结合除留余数法来使用。因为内存地址是 32 位整数，我们只需要 31 位的非负整数，因此应当屏蔽符号位之后再使用除留余数法。

int hash = (x.hashCode() & 0x7fffffff) % M;

使用 Java 的 HashMap 等自带的哈希表实现时，只需要去实现 Key 类型的 hashCode() 函数即可。Java 规定 hashCode() 能够将键均匀分布于所有的 32 位整数，Java 中的 String、Integer 等对象的 hashCode() 都能实现这一点。以下展示了自定义类型如何实现 hashCode()：

public class Transaction {

    private final String who;
    private final Date when;
    private final double amount;

    public Transaction(String who, Date when, double amount) {
        this.who = who;
        this.when = when;
        this.amount = amount;
    }

    public int hashCode() {
        int hash = 17;
        int R = 31;
        hash = R * hash + who.hashCode();
        hash = R * hash + when.hashCode();
        hash = R * hash + ((Double) amount).hashCode();
        return hash;
    }
}

3.4.2 基于拉链法的散列表

拉链法使用链表来存储 hash 值相同的键，从而解决冲突。

查找需要分两步，首先查找 Key 所在的链表，然后在链表中顺序查找。

对于 N 个键，M 条链表 (N>M)，如果哈希函数能够满足均匀性的条件，每条链表的大小趋向于 N/M，因此未命中的查找和插入操作所需要的比较次数为 ~N/M。

3.4.3 基于线性探测法的散列表

线性探测法使用空位来解决冲突，当冲突发生时，向前探测一个空位来存储冲突的键。

使用线性探测法，数组的大小 M 应当大于键的个数 N（M>N)。

public class LinearProbingHashST<Key, Value> implements UnorderedST<Key, Value> {

    private int N = 0;
    private int M = 16;
    private Key[] keys;
    private Value[] values;

    public LinearProbingHashST() {
        init();
    }

    public LinearProbingHashST(int M) {
        this.M = M;
        init();
    }

    private void init() {
        keys = (Key[]) new Object[M];
        values = (Value[]) new Object[M];
    }

    private int hash(Key key) {
        return (key.hashCode() & 0x7fffffff) % M;
    }
}

3.4.3.1 查找

public Value get(Key key) {
    for (int i = hash(key); keys[i] != null; i = (i + 1) % M)
        if (keys[i].equals(key))
            return values[i];

    return null;
}

3.4.3.2 插入

public void put(Key key, Value value) {
    resize();
    putInternal(key, value);
}

private void putInternal(Key key, Value value) {
    int i;
    for (i = hash(key); keys[i] != null; i = (i + 1) % M)
        if (keys[i].equals(key)) {
            values[i] = value;
            return;
        }

    keys[i] = key;
    values[i] = value;
    N++;
}

3.4.3.3 删除

删除操作应当将右侧所有相邻的键值对重新插入散列表中。

public void delete(Key key) {
    int i = hash(key);
    while (keys[i] != null && !key.equals(keys[i]))
        i = (i + 1) % M;

    // 不存在，直接返回
    if (keys[i] == null)
        return;

    keys[i] = null;
    values[i] = null;

    // 将之后相连的键值对重新插入
    i = (i + 1) % M;
    while (keys[i] != null) {
        Key keyToRedo = keys[i];
        Value valToRedo = values[i];
        keys[i] = null;
        values[i] = null;
        N--;
        putInternal(keyToRedo, valToRedo);
        i = (i + 1) % M;
    }
    N--;
    resize();
}

3.4.4 调整数组大小

线性探测法的成本取决于连续条目的长度，连续条目也叫聚簇。当聚簇很长时，在查找和插入时也需要进行很多次探测。例如下图中 2~5 位置就是一个聚簇。

α = N/M，把 α 称为使用率。理论证明，当 α 小于 1/2 时探测的预计次数只在 1.5 到 2.5 之间。为了保证散列表的性能，应当调整数组的大小，使得 α 在 [1/4, 1/2] 之间。

private void resize() {
    if (N >= M / 2)
        resize(2 * M);
    else if (N <= M / 8)
        resize(M / 2);
}

private void resize(int cap) {
    LinearProbingHashST<Key, Value> t = new LinearProbingHashST<Key, Value>(cap);
    for (int i = 0; i < M; i++)
        if (keys[i] != null)
            t.putInternal(keys[i], values[i]);

    keys = t.keys;
    values = t.values;
    M = t.M;
}